Ein nettes Wahrscheinlichkeitsbsp.

[martinh]

das sog. St. Petersburg Paradoxon.

Eine Münze wird geworfen kommt beim ersten Mal Zahl erhält man 2 Euro, kommt erst beim zweiten Mal Zahl erhält man 2*2 Euro beim dritten Mal erst Zahl erhält man 2*2*2 Euro, usw. Also insgesamt erhält man wenn erst beim n-ten Mal Zahl kommt 2 hoch n Euro.
Und jetzt die Frage: Wieviel sollte man bereit sein zu zahlen um an diesem Spiel teilnehmen zu dürfen und wieviel ist man tatsächlich bereit zu zahlen?(Die Antwort ist recht verblüffend!)

Martin

[dontpanic_2000]

Interessante Frage. Wieviel wäre ich bereit zu zahlen? :) Das hängt natürlich von verschiedenen Faktoren ab: Wie oft soll geworfen werden? Könnten die Münzen gezinkt sein? Ist der Veranstalter solvent genug, um einen evtl. sehr grossen Gewinn auch auszahlen zu können? Wie ist meine Risikopräferenz? Was habe ich an dem Morgen gefrühstückt? ... :D

Na gut, die entscheidende Variable ist wohl die Anzahl der Würfe. Bei nur einem Wurf hat man eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50% für 2 Euro und dementsprechend eine Verlustwahrscheinlichkeit von ebenfalls 50%. Der neutrale Beobachter wäre also wohl bereit, 1 Euro einzusetzen.

Bei zwei Würfen hat man drei mögliche Ausgänge des Experiments (wobei die Einzelereignisse voneinander unabhängig sein sollten, also bitte keine russischen Münzen): 1. Man gewinnt sofort 2 Euro (Wahrscheinlichkeit 50%), 2. man gewinnt beim zweiten Wurf 4 Euro (Wahrscheinlichkeit 25%) und 3. man verliert seinen Einsatz (Wahrscheinlichkeit 25%). Der neutrale Beobachter könnte nun die Ergebnisse mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten und zu dem Schluss kommen, er könnte wohl mal 2 Euro riskieren.

Bei n Würfen hat man n+1 möglich Ausgänge. Das wahrscheinlichkeitsgewichtete Ergebnis jedes Gewinnfalles beträgt 1 Euro, die Verlustwahrscheinlichkeit beträgt 1 - Summe 1...n (0,5^n). Der neutrale Beobachter wäre wohl bereit, n Euro einzusetzen.

Soviel zur Theorie, doch wer denkt schon theoretisch neutral? :D Das Spielchen hat ein paar Eigenschaften, die der Risikopräferenz der meisten Menschen entgegenkommen dürften: Mit zunehmender Zahl der Würfe steigt der maximale Gewinn exponentiell an und die Wahrscheinlichkeit eines Totalverlustes sinkt asymptotisch gegen Null. Ich schätze also mal, dass die meisten Leute bereit wären, bei höheren n mehr zu zahlen, als theoretisch gerechtfertigt.

:)
DP

[RIVA]

Click (http://www.phillex.de/petersbg.htm)

[dontpanic_2000]

Komischer Text.

"Nach aller Erfahrung ist jedoch kaum damit zu rechnen, daß irgend jemand mehr als 100 DM für die Spielteilnahme bieten wird." ??? Wieso denn 100? Stammt die Zahl von Frau Noelle-Neumann? :D

"Verliert die Bank wird der Einsatz in der nächsten Runde veringert, gewinnt der Spieler wird der Einsatz in der nächsten Runde erhöht." ??? Ja wie denn nun? :D Wenn das Programm auch so gestrickt ist, wundert mich gar nichts ("Das Programm liefert erstaunliche Ergebnisse"). :D

:)
DP

[nasdaq10.000]

Liebe Freunde der USA, die hier so zahlreich versammelt sind,

das Scheitern des Neuen Marktes ist wesentlich verursacht durch die Unfähigkeit Deutschlands in den Grundlagenwissenschaften und den Zukunftstechnologien (Software, Computertechnologien, Netzwerktechnologie, Halbleitertechnolgien ETC.) mit den USA konkurrieren zu können.

Gerne weise ich hin auf die Dominanz der Amerikaner bei der Vergabe der Nobel-Preise in den Grundlagenwissenschften Physik und Chemie
und auf das gleichzeitige Versagen der deutschen Forschung in diesen Bereichen.

Der weltberühmte Dr. Richebächer, der so gerne in den Kreisen der jetzt in Mode kommenden US-basher zitiert wird (ohne dass diese Herrn Richebächer je richtig verstanden), sieht
"die vorherrschende Rolle der Vereinigten Staaten" höchst ungerne und prophezeit seinen Niedergang.

Dass diese Vorherrschft der USA prmär und geradezu ausschliesslich auf die Dominanz im wissenschaftlich-technologischen Sektor beruht, sieht dieser doch etwas altväterliche Herr nicht.

Das ist das Resultat davon, dass man sich mehr mit der Geschichte der Wirtschaftsphilosophie statt mit Fragestellungen der Technologie-Geschichte befasst.

Hinzu kommt allerdings bei den Amerikanern die Fähigkeit des Umsetzens dieser Forschung in marktfähige, alltagstaugliche Produkte und die Durchsetzung im Rahmen der internationalen Konkurrenz auf internationalen Märkten.

Prof. Scheer (IDS Scheer AG) beschreibt das angesprochen Problem wie folgt:

ZITAT

(...)

Der Start des Neuen Marktes im März 1997 war ein deutliches Signal, dass man in Deutschland endlich begriffen hatte, wie wichtig Wagniskapital und die Börse für junge Unternehmen sind. Er sollte Bedingungen schaffen, um in neuen Innovationsthemen vorne mit dabei zu sein und internationale Markterfolge finanzieren zu können .

Aus den Fehlern der Computer-Ära wollte man lernen: In den 80er Jahren, als der Computermarkt international aufgeteilt wurde und die IT-Erfindungen weltweit Wirtschaft und Gesellschaft veränderten, hatte Deutschland viel von seiner einstigen Innovationskraft verloren. Die alten Unternehmen waren der Dynamik junger amerikanischer Hard- und Softwareanbieter nicht gewachsen.

Bei jungen Deutschen war Unternehmertum „out“ und diejenigen, die eine Unternehmensgründung wagten, hatten es ungleich schwerer als ihre Mitbewerber in den USA.

Drüben entstanden früh Campus-Unternehmen, die Risikokapital erhielten. Große Anbieter wie Dell, Microsoft, IBM, Oracle – um nur wenige zu nennen – dominieren heute die IT-Märkte und sind Zugpferde für amerikanische Jungunternehmen, deren Produkte sie mit vertreiben. Das deutsche Erfolgsbeispiel SAP kann die US-Übermacht im IT-Markt alleine nicht ausgleichen.

Neues Börsensegment sollte vieles in Schwung bringen

Das vor allem für Technologiewerte gegründete Börsensegment sollte deshalb vieles in Schwung bringen und junge Menschen wieder ermutigen, Unternehmen zu gründen. Die Zufuhr von Wachstumskapital sollte die Entwicklung der Unternehmen ermöglichen. In neuen, noch unbesetzten Marktsegmenten mit teils großen Wachstumsperspektiven wie e-Commerce, e-learning, Biotechnologie, Multimedia, Logistik und Prozessoptimierung trat eine junge Generation an, die etwas „unternehmen“ wollte. Der Neue Markt trug der Erkenntnis Rechnung, dass Zukunftstechnologien der Motor der wirtschaftlichen Entwicklung sind und Innovation durch junge Unternehmen gefördert wird. Die Gründungswelle um das Jahr 2000 zeigte die ersten Erfolge.

Heute blicken wir auf einen Scherbenhaufen. Die Wachstumsbörse hat nur ganz wenige Produkte „made in Germany“ international erfolgreich platzieren können, die in Einzelfällen sogar eine führende Rolle in Teilmärkten einnehmen. Doch auf breiter Front hat es Deutschland nicht geschafft, in den neuen Hightech-Gebieten global vertreten zu sein. Das ist die eigentlich schlechte Botschaft. Wieder ist es trotz einer Grundlagenforschung von Weltruhm und Milliarden an Fördermitteln nicht gelungen, in großem Stil aus der Forschung marktreife Produkte zu entwickeln.

Blick auf einen Scherbenhaufen

Hier liegt das Versagen. Und das wird die Änderung des Labels nicht vertuschen oder gar ändern können. Internationale Investoren kommen nicht deshalb zurück, weil Unternehmen die Höhe der Vorstandsgehälter veröffentlichen. Für junge Menschen, die ein Unternehmen gründen wollen, ist es nicht sehr motivierend, wenn weniger ihre innovative Idee beurteilt wird als die Fähigkeit, komplizierte Zahlenwerke zu erstellen. Es ist sogar zu befürchten, dass sich Analysten aufgrund der formalen Kriterien weiterhin darin bestärkt sehen, Unternehmen nach Finanzzahlen anstatt nach ihrer Innovationskraft zu bewerten.

Einmal mehr hat Deutschland als Innovationsstandort versagt. Es fehlt eine intakte Wertschöpfungskette von der Grundlagenforschung über die Prototypentwicklung und Produktentstehung bis zur Vermarktung, in welcher Risikokapital und Börsengänge ein wichtiges Glied bilden. Ohne finanzielle Schubkraft aber können sich Spinoff-Unternehmen aus der Forschung in einer zunehmend globalisierten Wirtschaft nicht erfolgreich etablieren.

Einige Nemax-50-Unternehmen werden den Sprung ins Premiumsegment schaffen und bei besserem Börsenumfeld und weiter guten Ergebnissen davon auch profitieren. Die Mehrzahl wird es aber nicht retten.
Das zarte Pflänzchen Neuer Markt ist verwelkt, bevor es Früchte tragen kann. Weil der Boden, aus dem es gepflanzt wurde, zu sauer ist.
30.9.02, wirtschaftswoche.de

[RIVA]

Lieber nasdaq,

bist Du sicher, dass Du das hier posten wolltest? ;)

Gruss,


RIVA

[RIVA]

Das St. Petersburger Paradoxon
(nach Daniel Bernouilli, 1738 in der Zeitschrift der St. Petersburger Akademie publiziert).

Hier eben mit geraden/ungeraden Zahlen - statt mit Kopf/Zahl bei einer Münze. Bleibt für die Ausführungen Jacke wie Hose...
______________________________________________________________________________

Achim und Beate würfeln um die Wette, und zwar solange, bis zum ersten Mal eine gerade Zahl erscheint. Kommt beim ersten Mal eine 2, 4 oder 6, so erhält Beate 2 DM. Kommt erst beim 2. Mal eine gerade Zahl, erhält Beate 4 DM, beim 3. Mal 8 DM usw. Kommt also erst beim n-ten Wurfe eine gerade Zahl, so erhält Beate 2n DM. Was soll Beate einsetzen, damit dieses Spiel fair ist? Die kanonische Antwort lautet natürlich, den Erwartungswert

http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/medio/stochastik/henn2/Paradoxa_04-Dateien/image014.gif


Mit anderen Worten, was immer Beate als Einsatz anbietet, es ist stets zu wenig! Wäre sie bereit, z. B. das Spiel beim Einsatz von 1.000 DM zu spielen? Sicher nicht!

Hier klaffen scheinbar Theorie und Praxis auseinander. Wir hatten als Erwartungswert definiert (Script „Einführung in die Stochastik, WS 1999/2000, S. 70): Sei P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und X eine Zufallsgröße auf W. Dann heißt

http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/medio/stochastik/henn2/Paradoxa_04-Dateien/image016.gif


(sofern dieser Summenwert existiert) der Erwartungswert von X. Hier ist z. B. W = , P({n}) = 2-n, X mit X(n) = 2n, daher ist

http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/medio/stochastik/henn2/Paradoxa_04-Dateien/image020.gif


d. h. die links stehende Summe hat keinen Grenzwert, somit hat der zufällige Gewinn beim Petersburger Spiel keinen Erwartungswert.



So, dp - zufriedener? :p




Quelle (http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/medio/stochastik/henn2/Paradoxa_04.htm#p44)

[dontpanic_2000]

Mit deinen Ausführungen, ja. :) So ähnlich steht das wahrscheinlich auch in meinen Skripten, auch wenn die so in etwa auf das WS 1981/82 zurückgehen. :D

Ich muss allerdings zugeben, dass ich mehr an praktischen Fragestellungen interessiert bin, deshalb hab ich das Rätsel gleich mal dahingehend interpretiert, dass von vornherein eine begrenzte Zahl von Würfen verabredet ist, alles andere erschien mir als Fragestellung zu unrealistisch.

Obwohl ... das was einige Emittenten so an Konstruktionen anbieten, erinnert schon irgendwie an den "unwahrscheinlichen Fall". :D

:)
DP

[RIVA]

Obwohl ... das was einige Emittenten so an Konstruktionen anbieten, erinnert schon irgendwie an den "unwahrscheinlichen Fall".


Da sagste was....(seufz)

[Jim Knopf]

ich hab bloss immer noch nicht verstanden, wie hoch denn jetzt mein Einsatz sein sollte?!?

[dontpanic_2000]

Was würdest du denn setzen wollen? Vielleicht übernehme ich den Part der Bank. :D

:)
DP

[martinh]

Die Ausführung sind ganz perfekt, wußte gar nicht daß so viele Wahrscheinlichkeitstheoretiker hier sind.
Die richtige Lösung wäre natürlich man mußte jeden beliebigen Betrag setzen!
hab das ganze mal am Computer ein paar 1000 Mal simuliert: Alles über 16€ ist schon einem Verlust gleichzusetzen!

Martin

[martinh]

kommt übrigens wegen der unglaublich langsamen Konvergenz zum erwartungswert hin!
Aber "in the long run" gibts unendlich viel. J.M. Smith hat allerdings treffend bemerkt "in the long run we are all dead!"
?Conclusio: Finger weg von langfristigen Investments?

Martin

[dontpanic_2000]

Ich dachte, der Spruch stammt von Keynes. :D

:)
DP

[martinh]

stimmt mein Fehler John Maynard Smith ist ja der Biologe!

Also hiermit ENTGEGNUNG:

Wie John Maynard Keynes trefflich bemerkte "In the long run we are all dead."

P.S. Keiner hat aber noch gesagt wieviel er tatsächlichs setzen würde!